екстремуми функції

Вправа. Опрацювати теоретичний матеріал.

Екстремуми функції

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.

Достатня умова існування екстремуму. 

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і 1) f '(x) > 0 на інтервалі (а; х₀) та f '(х) < 0 на інтервалі (х₀b), то х₀ є точкою максимуму функції f(х);

 2) f '(x) < 0 на інтервалі (а;х₀) та f ‘(x) > 0 на інтервалі (х₀b), то х₀ є точкою мінімуму функції f(х).

Зручно користуватися наступним формулюванням цієї теореми:

якщо в точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х₀ - точка максимуму (мал. 100), а якщо з «-» на «+», то х₀ - точка мінімуму (мал. 101).

Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму доцільно виконувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції у = f '(х).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f'(x) не існує та розв’язки рівняння f '(х) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку.

5) Якщо у критичній точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-», то х₀= х_mах(мал. 100). Якщо ж міняє знак з «-» на «+», то х₀ = х_min (мал. 101). Якщо жзміни знаків немає (мал. 102), то х₀ не є точкою екстремуму.

6) Робимо висновок (відповідь).