Олімпіада з математики

Олімпіадні завдання з математики,1 курс

Олімпіадні завдання з математики, 2 курс

первісна. функції

Вправа. Опрацювати теоретичний матеріал.

Функція  F(x) називається первісною функції  f(x) на даному проміжку, якщо для будь-якого x  з цього проміжку  F‘(x) = f(x).

Наприклад

Перевірити, чи буде функція  F(x)=sinx+2,5x2 первісною функції  f(x)= cosx+5х на множині дійсних чисел?

Знайдемо похідну функції  F(x),  F‘(x) = cosx+2,5*2х, отже F(x) називається первісною функції  f(x) на множині дійсних чисел

Основна властивість первісної

Якщо функція F(x) є первісною для функції  f(x) на даному проміжку, а  C  – довільна стала, то  F(x)+C  є також первісною для функції  f(x), при цьому будь-яка первісна для функції  f(x) на даному проміжку може бути записана у вигляді F(x)+C , де С – довільна стала.

Графіки будь-яких первісних одержуються один з одного паралельним перенесенням уздовж осі ОУ.

Наприклад, розв’яжемо задачу:

Для функції  f(x)=–x2+3x обчисліть первісну,  графік якої проходить через точку  М(2;-1).

Розв’язання

Знайдемо загальний вигляд первісної даної функції:

F(x)=-x3/3+3 x2/2 +С.                                       (1)

Оскільки графік шуканої первісної задовольняє рівнянню (1), підставимо в рівняння замість аргументу значення 2,  замість функції значення -1, матимемо:

-1=-8/3+6 +С,

Отже С=-13/3.

Шукана первісна матиме вигляд: F(x)=-x3/3+3 x2/2 -13/3

елементи комбінаторики

Основи комбінаторики - перестановки, розміщення, сполучення

Комбінаторика є важливим розділом математики, що досліджує закономірності розташування, впорядкування, вибору і розподілу елементів з фіксованої множини.
При великому числі можливих наслідків випробування способи прямого перебору можливих варіантів малоефективні. На допомогу приходять комбінаторні методи, в основі яких лежать два настутних правила.

ПРАВИЛО ДОДАВАННЯ

Якщо дві взаємовиключні події можуть бути виконані відповідно k та m способами, тоді якусь одну з цих подій можна виконати k+m способами.

Приклад 1. З міста А в місто В можна добратися 12 потягами, 3 літаками, 23 автобусами. Скількома способами можна добратися з міста А у місто В?

Розв'язання. Проїзд з А у В на потягу, літаку або автобусом є подіями, які не можуть виконуватися одночасно однією людиною (взаємовиключними), тому загальну кількість маршрутів можна обчислити сумуванням способів пересування
N=12+3+23=38.
В цьому і полягає правило додавання.

ПРАВИЛО МНОЖЕННЯ

Нехай дві виконувані одна за одною дії можуть бути здійснені відповідно k та m способами. Тоді обидві вони можуть бути виконані k*m способами.

Приклад 2. У турнірі беруть участь 8 команд з хокею. Скільки існує способів розподілити перше, друге та третє місця?

Розв'язання. Відповідно до умови аналіз призових місць має бути наступним:
перше місце займе одна з 8 команд, друге – одна з 7, третє – одна з 6, оскільки кожна з них не може претендувати одночасно на два призових місця. Тому таких способів буде
N=8*7*6=336
Обидва правила узагальнюються на випадок будь-якої скінченної кількості дій.
У комбінаториці розрізняють три види різних з'єднань (комбінацій) елементів фіксованої множини: перестановки, розміщення, сполучення. Нижче будуть дані їх означення з позначеннями, які найбільшвживані.

Перестановками з m елементів називаються такі їх сукупності, що відрізняються одна від іншої тільки порядком входження елементів. Їх позначають P(m) та визначають за формулою

- факторіал числа m, визначається за правилом 

Приклад 3.Скількома способами можна в садочку поставити групу з 15 дітей в ряд?

Розв'язання. На перше місце є можливість поставити когось із 15 дітей, на друге одного з 14 і т.д. Загальна кількість рівна 15 факторіал

Переглянути приклади на перестановки.

Розміщеннями з n елементів по m називаються такі сукупності m елементів, що відрізняються одна від іншої принаймні одним елементом або порядком їх входження ():

Фомула розміщень не надто складна і доволі часто Ви будете нею ористуватися на практиці, тому рекомендуємо її вивчити.

Приклад 4. Скільки різних трицифрових чисел можна скласти за допомогою цифр від 1 до 9?

Розв'язання Загальна кількість чисел обчислюється за формулою розміщень

Отримана відповідь Вам і зрозуміла і тривіальна. Переглянути задачі на розміщення.

Сполученнями з n елементів по m називаються такі сукупності m елементів, що відрізняються одна від іншої принаймні одним елементом () :

З формули сполучень бачимо, що вони приймають ще менше значення ніж розміщення. З наступного завдання Ви зрозумієте де використовують розміщення.

Приклад 5. Скількома способами можна вибрати три цифри з дев'яти 1, 2, 3,...,9?

Розв'язання. Кількість усіх можливих способів визначаємо з формули

початки теорії ймовірностей

Вправа.Опрацювати теоретичний матеріал.

Початки теорії імовірностей

Імовірність події А дорівнює відношенню числа випробувань m, що сприяють появі події A, до числа всіх можливих результатів випробування n:

Властивості імовірності

1. Для кожної події А, 0 ≥ P(A) ≥ 1
2. Для вірогідної події Ω, P(Ω) = 1
3. Якщо A = B + C, причому B і C несумісні, то P(A) = P(B) + P(C)

Виконати вправи

застосування похідної до дослідження функцій

Вправа. Розглянути приклад

Приклад 1. Знайдіть точки екстремуму та екстремум функції 

Розв’язання. 

3) Похідна існує в усіх точках області визначення у’ = 0; х₁ = -1; х₂ = -3 -критичні точки.

4) - 5) (мал. 103, пробні точки виберіть самостійно).

екстремуми функції

Вправа. Опрацювати теоретичний матеріал.

Екстремуми функції

Точки максимуму і точки мінімуму називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.

Достатня умова існування екстремуму. 

Якщо функція f(x) неперервна в точці х₀ і 1) f '(x) > 0 на інтервалі (а; х₀) та f '(х) < 0 на інтервалі (х₀b), то х₀ є точкою максимуму функції f(х);

 2) f '(x) < 0 на інтервалі (а;х₀) та f ‘(x) > 0 на інтервалі (х₀b), то х₀ є точкою мінімуму функції f(х).

Зручно користуватися наступним формулюванням цієї теореми:

якщо в точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-» (рухаючись в напрямі зростання х), то х₀ - точка максимуму (мал. 100), а якщо з «-» на «+», то х₀ - точка мінімуму (мал. 101).

Для дослідження у = f(x) на точки екстремуму доцільно виконувати наступну схему:

1) Знаходимо область визначення функції у = f '(х).

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення, в яких f'(x) не існує та розв’язки рівняння f '(х) = 0.

4) Позначаємо знайдені точки на області визначення функції у = f(х) та знаходимо знак похідної f '(х) у кожному з цих проміжків (для цього достатньо визначити знак похідної f'(x) в якійсь одній «пробній» точці проміжку.

5) Якщо у критичній точці х₀ похідна міняє знак з «+» на «-», то х₀= х_mах(мал. 100). Якщо ж міняє знак з «-» на «+», то х₀ = х_min (мал. 101). Якщо жзміни знаків немає (мал. 102), то х₀ не є точкою екстремуму.

6) Робимо висновок (відповідь).

похідна складеної функції

вправа.Розглянути теоретичний матеріал

Похідна складеної функції (Chain Rule)

Нехай функція  визначена в деякому околі точки  і функція  визначена в деякому околі точки , таким чином визначена складена функція .

Теорема 3.3. Якщо функція  має похідну в точці  і функція  має похідну в точці , то складена функція  також має похідну в точці , причому

,                              (3.6)

або скорочено

                                         (3.6*)

Доведення. За означенням маємо:

.

Приклад 3.5. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Приймаючи , маємо:

Тут враховано, що  також складена функція і тому за формулою (3.6) вона має похідну .

Виконати вправу

Вправа. Пройти тест.